Eu Derivo. Tu Derivas?

A derivada tem sido uma importante ferramente no Cálculo, sempre nos ajudando a encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à uma curva, a velocidade vetorial e a aceleração tangencial de uma partícula, os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão de uma função, as raízes múltiplas de um polinômio, os limites que só são resolvidos por L'Hôpital e mais uma infinidade de coisas.

Nesta postagem nos preocuparemos em apresentar essas aplicações das derivadas e algumas derivadas não muito conhecidas.

Regras de Derivação

Sendo 'f ' e 'g' duas funções reais e 'r' um número real.

Regra da Cadeia 

Equação da Reta Tangente e da Reta Normal

Seja uma curva 'C' tal que deseja-se determinar as equações da reta tangente e da reta normal a essa curva num dado ponto 'P'.

(***Em Construção)

Provas e mais Provas...

Segue uma pequena lista de exercícios resolvidos visando a melhor fixação dos conteúdos de Cálculo I que estarão nas próximas Provas.

Exercício 01

Exercício 02

Exercício 03

Exercício 04

Exercício 05

Exercício 06

Exercício 07

Exercício 08

As Integrais

Quem tem medo das Integrais? 

Sim, o Cálculo é uma disciplina que atormenta muitos estudantes de Matemática, Física, Engenharia e outros cursos de exatas. Como se não bastasse os Limites e as Derivadas, existem também as Integrais.

 

Aos novos estudantes de Cálculo I que: estão preocupados com as provas e principalmente com suas notas; não fazem curso de Matemática mas têm um professor de Cálculo que é matemático e aplica provas mirabolantes; têm um professor de Cálculo que não ensina absolutamente nada ou fala em outras línguas que não o português; é aluno do 3º ano do Ensino Médio e já tem Cálculo I e não sabe mais o que fazer da vida. Não se desespere, pois aqui também é o seu lugar para aprender alguns médotos de integração.

A nosssa metodologia de aprendizagem se baseia na resolução de exercícios, então apresentaremos inicialmente as integrais fundamentais e em seguida partiremos para prática!

Um exemplo de integral que contempla o quadro acima:

Bom, nem sempre as integrais são tão simples como essa acima. Com a finalidade de resolver as integrais mais complicadas, apresentaremos os métodos de integração, quais sejam a Integração por Substituição, Integração por Partes, Integração por Fração Parcial e Integração por Substituição Trigonométrica.

Integração por Substituição

Como o próprio nome já sugere é um método de integração em que é feita uma substituição de variável com a finalidade de facilitar a integral de modo a recair em alguma integral conhecida.

Exemplo 01:

Exemplo 02:

Exemplo 03:

Observação: neste caso a substituição não ficou tão clara na intgral. O que fazer nesses casos? Bom, o que podemos afirmar é que com a maior prática em determinar integrais e uma boa visão de diferencial, você vai aprender a manipular bem e relacionar uma nova variável corretamente.

Exemplo 04:

Exemplo 05:

Observação: Geralmente quando se tem uma raiz quadrada no denominador é conveniente substituir todo o radical por uma outra variável.

Integração por Partes 

É um método de integração que resolve alguns tipos de produtos de funções. Baseando-se na  propriedade de as integrais serem anti-derivadas, temos o seguinte:

Exemplo 01:

  

(***Em construção ...)

Lista das Top Integrais

Gabarito 

 

Criptografia

A criptografia é um ramo da Matemática dedicado a estudar os diversos modelos de codificação de mensagens, isto é, o sigilo da informação. Sendo uma 'arte' muito antiga, que remonta a época das guerras entre reinos e impérios, a criptografia era utilizada como artifício de comunicação entre os militares que por vezes necessitavam de mandar mensagens sigilosas a suas tropas.

O modelo mais conhecido de criptografação é o Código de César, que se baseia na substituição unitária de letras dentro de um alfabeto. Por exemplo, imagine um alfabeto com 5 letras (A,B,C,D,E), agora eu substituo cada letra do alfabeto original por uma outra (B,C,D,E,A), com isso a palavra  'ABC', do original, passa a ser 'BCD'. Esse foi um método ulitizado pelo Império Romano durante anos.  Apesar de na época ter sido uma boa modelagem, nos dias de hoje essa é uma opção ruim, pois é relativamente simples para um computador determinar essa substituição unitária por meio de um  Estudo de Ocorrência, que é um estudo estatístico da aparição das letras desse alfabeto. A partir das porcentagens é possível determinar por quais letras o alfabeto original foi substituído. Por exemplo, na Língua Portuguesa a vogal 'a' é utilizada com muita frequencia, imaginemos que ela tenha sido substituída pela letra 'x'. O computator vai avaliar estatísticamente a porcentagem da ocorrência da letra 'x' no texto  criptografado e vai comparar com a tabela de ocorrência da Língua Portuguesa, daí ele determina facilmente o alfabeto criptografado.

Atualmente a modelagem mais segura é o RSA que é bem simples de ser construído e extremamente difícil de ser decifrado. Ele se baseia na circulação de mensagens numéricas (informação por meio digital). Seu princípio é o seguinte, imagine que eu deseje passar a mensagem 'm' para você. Eu devo buscar um número primo extremamente grande que se relacione com 'm' e um outro número primo 'p' extremamente grande que seja de conhecimento apenas meu e seu. Eu faço o produto de 'p' por 'm' e publico esse produto. Você recebe esse protudo, divide por 'p' e encontra o 'm'. Simples, não!?

Mas por quê esse é um método eficiente? Simples, os números primos utilizados são da ordem de 100 dígitos. Um supercomputador ao receber o produto vai ficar tentando dividir esse número pelos primos conhecidos, e com isso ele gasta muito tempo, podendo em alguns casos levar muitos anos.

Aí está a eficiência de uma modelagem: simples codificação e descodificação extremamente complicada.

O que é um Fractal?

Podemos definir de maneira bem geral que um fractal é um ente geométrico que reproduz em sua estrutura repetições de sua totalidade, mas de maneira reduzida. Essa propriedade é conhecida como auto-similaridade. 

Um bom exemplo na natureza é uma folha de samambaia, que repete suas folhas continuamente, mas em escalas cada vez menores. 

Os fractais não se limitam apenas a Matemática, pois os astrofísicos ao estudarem as galáxias, os botânicos ao estudarem o crescimento das folhas das plantas, dentre diversos outros tipos de pesquisadores também estudam os fractais. Até mesmo um aluno do Ensino Médio ao estudar progressões geométricas estuda indiretamente alguns modelos de fractais.